Комплексные числа как тема для факультативных занятий в средней школе

Введение
Цель современной школы развитие личности учащегося, формирование его ценностного сознания. Ее невозможно достичь без ориентации подростков на значимые для него ценности, без развития духовного мира школьника, его нравственной и эстетической воспитанности.
Полноценная познавательная деятельность школьника выступает в обучении главным условием развития у них инициативы, активной жизненной позиции, находчивости.
Дополнительное образование в школе, а значит и наличие факультативных курсов позволяет, во-первых, создать широкий общекультурный, эмоционально значимый для ученика фон усвоения различных направлений стандарта общего образования и, во-вторых, предметно ориентировать его в таких областях деятельности, которые будут содействовать определению его жизненных планов.
Интеллектуальное и эмоциональное удовлетворение, которое получает ученик в самой деятельности, и есть залог формирования у учащихся увлеченности наукой, техникой, искусством, трудом, без чего невозможно всестороннее развитие личности.
Важно не только то, что изучают учащиеся, но и то, как они это делают, какими методами самостоятельного приобретения знаний и применения их на практике они овладевают.
При знакомстве с новыми объектами ранее приобретенные знания, умения и навыки обязательно найдут себе применение в процессе выявления взаимосвязи этих объектов с другими математическими понятиями.
В 5-6 классах средней школы изучается курс арифметики, содержащей основы науки о числах. Это название происходит от греческого слова "арифмос" – число.
От сознательного и прочного усвоения арифметики целиком зависит успешность усвоения многих других предметов, в частности алгебры, геометрии, тригонометрии, физики, химии, астрономии.
В старших классах средней школы уже заложена определенная база знаний для изучения понятия комплексного числа, представления его в различных формах записи. А тот фундамент, который был заложен в 5-6 классах дает возможность построить на факультативных занятиях арифметику новых объектов и познакомиться с их многочисленными свойствами.
Говоря о значении комплексных чисел в математическом образовании учащихся, прежде всего следует иметь ввиду большое идейное богатство этого понятия.
Понятие комплексных чисел обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики – идею обобщения понятия числа. Знание комплексных чисел позволяет учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы, как решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции. Открытие комплексных чисел не только обогатило математику новыми числами более общего вида, но и вооружило ученых более общими методами исследования.
Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность, стала в итоге развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа – теория функций комплексного переменного.
Весь этот разнообразный материал не может быть доведен до сведения учащихся, однако, некоторые вопросы могут быть изучены в школе на факультативных занятиях, а это расширит представления учащихся и об аппарате комплексных чисел и о методах математических исследований.
Существуют пособия для школьников, где кратко изложена теория делимости в кольце комплексных чисел. Возможно, неоднократно поднимался вопрос о включении этой темы в школьную программу, но на данный момент эта проблема осталась нерешенной.
Школьники уже знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, о существовании не всегда выполнимых математических действий в определенных числовых множествах. Знакомство с арифметикой гауссова кольца расширит понятие о числе и покажет, что наряду с "привычной" арифметикой есть еще и другая, где тоже имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители. Все вышесказанное обусловило объект, предмет, цели и научную проблему исследования.
Объектом исследования является процесс обучения математике в старших классах.
Предметом исследования является процесс систематизации знаний по математике в старших классах.
Цель исследования заключается в разработке методики организации и проведения занятий по теме "Арифметика комплексных чисел".
В ходе исследования была выдвинута гипотеза, согласно которой разработанный факультативный курс будет способствовать повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделах школьного курса и упорядочит те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.
Научная проблема исследования состоит в обосновании и разработке наиболее эффективных методов организации повторения и углубления знаний старшеклассников.
Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи:
• выявление психолого-педагогических и методических особенностей преподавания математики в старших классах с целью повышения эффективности изучения курса "Арифметика комплексных чисел".
• разработка содержания и методики изучения факультативного курса "Арифметика комплексных чисел".
• используя педагогический эксперимент проверить правильность выдвинутой гипотезы.
Основные методы исследования анализ содержания психолого-педагогической, математической и методической литературы, а также содержания школьных учебников и учебных пособий по теме "комплексные числа", анализ работ по методике преподавания математики.
ГЛАВА 1. Психолого-педагогические и исторические основы построения факультативных занятий в средней школе.
1.1. Факультативные занятия в средней школе.
С 1967/1968 учебного года в 7-10 классах средней школы введены факультативные занятия по выбору учащихся. Цель таких занятий – расширение, углубления знаний, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них определенных навыков самостоятельной работы.
Применительно к математике эта цель заключается в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математики, и отдельными вопросами, связанными с ее приложениями. Факультативный курс включает в себя такое содержание, которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного государственного стандарта. По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся (специальными школами и классами с углубленным изучением отдельных предметов) факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для учащихся.
Специфика факультативных занятий разрешает определенную автономность содержания факультативного курса, что позволяет преподавателю проявлять самостоятельность в отборе материала для изучения и выборе форм его изложения. Одной из важнейших задач обучения математике в общеобразовательной школе является формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности. Специфика факультативных курсов позволяет решать сложные проблемы: повышение интереса к наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний, ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути.
Учитывая то, что учащийся вправе сам выбирать вид деятельности, занятия в соответствии со своими интересами, склонностями и способностями, и то, что индивидуальные различия учащихся в характере мыслительной деятельности, степени подготовки тоже присутствуют, особую значимость в ходе факультативных занятий обретает индивидуальный подход и самостоятельность в процессе изучения содержания курса. Отсутствие обязательного минимума знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся дает учителю возможность применять индивидуальный подход к каждому ученику с учетом его способностей. С другой стороны, заинтересованность и добровольное посещение учащимися факультативов создает благоприятную почву для получения, понимания и усвоения новых знаний.
В работах И. М. Смирновой рассмотрена концепция разделения учащихся по отношению к школьному курсу математики на три группы.
Первую группу должны составлять школьники, для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей деятельности будет использоваться лишь в незначительном объеме. Для этой категории существенно овладение общей математической культурой, а вовсе не ремесленными навыками решения стандартных задач.
Во вторую группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Для этой категории существенны не только знания о математических фактах, навыки логического мышления, пространственного представления, но и прочные навыки решения математических задач. Наконец, в третью группу нужно отнести тех учащихся, которые выберут математику (или близкие к ней области знания) в качестве основы своей будущей деятельности. Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами. Таким образом, получаем, что современная трактовка дифференциации делится на уровневую и профильную.
Уровневая дифференциация вытекает из того, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники по-разному усваивают материал. Определяющим здесь является уровень обязательной подготовки и достижение его свидетельствует об усвоении.
Профильная дифференциация предполагает обучение различных групп школьников по программам, отличающимися глубиной изложения материала, объемом, формами и методами преподавания.
Этот вид дифференциации предполагает наличие достаточно единого базового образования и утверждения школьников в своих склонностях. Таким образом, наличие в современной школе классов с различной специализацией, а также всевозможных типов учебных заведений (гимназий, лицеев и др.), наложило отпечаток на организацию и проведение факультативных занятий, особенно в старших классах.
При разработке факультативного курса надо учитывать:
• в каких классах (с какой специализацией) будут проводиться факультативные занятия;
• в каком объеме в них изучается выбранная для факультативна тема;
• в каком порядке целесообразно рассматривать программный и факультативный материал;
В старших классах современной школы факультативные занятия способствуют: учету индивидуальных способностей и склонностей учащихся при обучении, стимуляции интереса к наукам, достижению высокого уровня знаний, возможности профессионально ориентировать школьников, ликвидации перегрузки учебных планов и программ.
1.2. Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов.
Любой факультативный курс конструируется таким образом, что несет в себе выполнение основных образовательных функций:
психолого-педагогическую, познавательную и практическую.
• Психолого-педагогическая функция включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.
Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов.
Важнейшая задача обучения математике – пробудить у школьников потребность активно мыслить, преодолевать трудности при решении разнообразных задач, искать наиболее рациональные пути решения этих задач. Научить их доказывать существование вводимых математических понятий, опровергать ложные предложения, проверять правильность обратного предложения и т. д. – такими логическими умениями должен овладеть школьник.
Решение выдвинутых задач возможно на факультативных занятиях по математике, учитывая их специфику: это и малочисленность группы учащихся, и их заинтересованность в посещении таких занятий, а также присутствие интереса к "новым открытиям", которые трудно реализовать в полном объеме.
• Факультативный курс должен способствовать формированию и развитию самостоятельной, творческой и мыслительной деятельности учащихся.
Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике. Огромную роль здесь играет принцип единства сознания и деятельности, разработанный А. Н. Леонтьевым и С. Л. Рубинштейном. Его суть состоит в том, что человеческая психика проявляется и формируется в деятельности – трудовой, учебной, игровой.
Какими бы природными задатками ни обладал от рождения человек, они смогут получить свое развитие лишь в процессе деятельности. Важно, чтобы школьник усваивал материал в порядке активной работы над ним. Задача преподавателя заключается в том, чтобы работа эта была насыщена элементами самостоятельности, творчества, только тогда ученики смогут направлять свою интеллектуальную активность и ранее усвоенные знания на "открытие" важных существенных признаков новых понятий и применять их в своей дальнейшей познавательно-практической деятельности. Развивает не само знание, а специальное его конструирование. Факультативный курс должен не просто излагать систему знаний, а особым образом организовывать познание ее ребенком.
Здесь очень многое зависит от учителя, задача которого состоит в создании психолого-педагогических условий, стимулирующих учащихся к использованию и выбору наиболее рациональных, личностно-значимых способов.
При таком подходе в центре внимания оказывается не усредненный ученик, а каждый школьник, как личность в своей самобытности, уникальности.
• При разработке факультативного курса нужно учитывать самостоятельность и индивидуальный подход в обучении.
Хорошо известно, что все люди разные. Выявляются различия в типе темперамента, в психических свойствах и в скорости протекания нервных процессов. Люди рождаются с различными задатками, которые развиваются в различные способности.
При значительном разбросе индивидуальных особенностей учеников и их численности, обычно учитель не может учесть в достаточной мере особенности каждого, и учебный процесс строится в расчете на среднего ученика, который только и чувствует себя более или менее комфортно при таком обучении. Но учитель всегда должен учитывать индивидуальные особенности учащихся.
Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так, чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом теоретического материала, выбрав такой уровень изложения этого материала, который соответствует его индивидуальным особенностям. При разработке курса для старшеклассников должен быть учтен и критерий самостоятельности в обучении. Сочетание индивидуализации и самостоятельности при изучении содержания факультативного курса дает возможность школьникам выполнять различное количество упражнений разного уровня.
• При разработке факультативного курса нужно учитывать и возрастные особенности учащихся.
Школа занимает большое место в жизни старших подростков, но у разных детей проявляется по-разному, несмотря на осознание важности и необходимости учения. Известно, что дети различаются по некоторым важным параметрам: отношение к учению, общему развитию, способам усвоения учебного материала. Учет перечисленных различий дает более полноценное усваивание новых знаний школьниками.
Для старших подростков обучение в 10-11 классах это период выработки жизненной позиции, сознательного отношения к выбору профессии. Таким образом при обучении старшеклассников имеется возможность использовать специфические достоинства возраста:
возросшие моральные и интеллектуальные силы и их продолжающийся рост; рост произвольности психических процессов, лежащих в основе умения управлять собой; формирование обобщенных форм самосознания, отношение к себе как к реально взрослым; умение увидеть сильные и слабые стороны своего развития.
Самообразование главным образом связано с выбором будущей профессии. Кроме того, возникает потребность в само регуляции, т. е. в управлении и развитии личности.
Все большее значение мышлении старшеклассника наряду с конкретным занимает абстрактное мышление. Учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умение аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другую. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретно выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.
Учащиеся старших классов умеют абстрагировать и обобщать материал, происходит формирование теоретического мышления. Теоретическое мышление характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. Поэтому при построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:
• умение сравнивать – сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними
• умение анализировать – мысленное расчленение предмета познания на части
• умение синтезировать – мысленное соединение отдельных элементов в единое целое
• умение абстрагировать – мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Это умение особенно важно для математических наук, т. к. многие математические понятия являются абстрактными объектами
• умение обобщать – мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному)
• умение конкретизировать – может выступать в двух формах: мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [36].

Продолжение работы в архиве