Инфоняня - Сайт для родителей и детей

Добро пожаловать, Гость
Логин: Пароль: Запомнить меня

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи 4 года 4 мес. тому назад #1391

  • Админчик
  • Админчик аватар
  • Offline
  • Администратор
  • Сообщений: 1283
  • Репутация: 0
Введение
Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку. Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало. Тем больший интерес представляет для нас сочинение "Liber abacci" ("Книга об абаке"), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (ок. 1170-после 1228), более известный под прозвищем Фибоначчи, который был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.
В дипломной работе рассматриваются числа последовательности Фибоначчи, их свойства, а также, тесно связанный с этой темой, феномен золотого сечения, в котором большинство ученых видят одно из наиболее ярких, давно уже замеченных человеком проявлений гармонии природы. Феномен золотого сечения рассмотрен в работе в общей картине исторического становления архитектуры, на формах живой природы и за пределами предметного мира, в области гармонии и математических абстракций. Он рассмотрен и как объективная характеристика объектов искусства, экономики и т. д.
Общеизвестно, что золотое сечение – это закон пропорциональной связи целого и составляющих это целое частей. Классический пример золотого сечения – деление отрезка в среднепропорциональном отношении, когда целое так относится к большей своей части, как большая часть – к меньшей: (a+b)/b = b/a. Такая задача имеет решение в виде корней уравнения x2 – x – 1 = 0.За кажущейся простотой операции деления в крайнем и среднем отношении скрыто множество удивительных математических свойств и множество форм выражения пропорции золотого сечения.
Золотое сечение, как и загадочные свойства чисел Фибоначчи, владели мыслью и чувствами многих выдающихся мыслителей прошлого и продолжает волновать умы современников наших не ради самих математических свойств, а потому, что неотделимо от ценности объектов искусства и в то же время обнаруживает себя как признак структурного единства объектов природы. Скульптура, архитектура, музыка, астрономия, биология, психология, техника – вот те сферы, где так или иначе обнаруживает свою жизнь золотое сечение. Современные исследователи находят его при описании строения растений, пропорций тел животных, птиц, человека, в статистике популяций, в строении глаза и строении космоса и т. д.
Мы не можем сегодня с абсолютной достоверностью определить, когда и как понятие золотого сечения было выделено в человеческом знании из интуитивной и опытной категорий. Но судить обоснованно, кто прав: те ли, кто относит открытие золотого сечения к цивилизациям древнего Востока (Египет. Индия), или те, кто, подобно Кеплеру, связывает открытие золотого сечения с именем Пифагора, можно, но для этого необходимо владеть базовыми историческими и математическими познаниями.
В эпоху Ренессанса среднепропорциональное отношение именовали Sectio divina – божественной пропорцией. Леонардо да Винчи дает ему имя Sectio aurea (золотое сечение), живое поныне, а много раньше, в 1202 г., открытием ряда Фибоначчи было обнажено фундаментальное свойство золотого сечения – единство аддитивности и мультипликативности.
Сегодня сущность гармонии невозможно выявить ни в биологии, ни в искусстве, ни в абстрактно-математических построениях, если рассматривать их раздельно, – здесь можно лишь наблюдать и осмысливать ее проявления. "Философия, – говорил Галилео Галилей, – написана в той величественной книге, которая постоянно открыта у нас перед глазами (я имею в виду Вселенную), но которую невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не узнать те письмена, которыми она начертана". "Божественная пропорция – бесценное сокровище, одно из двух сокровищ геометрии", – развивает эту же мысль Кеплер. Действительно, гармония может быть расшифрована лишь на ее собственном языке, отображенном фундаментальными принципами естествознания.
Цель дипломной работы – показать новые пути исследования природы гармонии: пути различные, основанные на рассмотрении разных объектов искусства и естествознания, но приводящие к взаимосвязанным выводам, хорошо согласованным с реальностью.
Раскрытие объективных законов гармонии формирует прочный фундамент мировоззренческого и профессионального отношения к творчеству и, следовательно, к жизни. Изучение и постижение законов гармонии способно направить творческую деятельность человека не в русло эклектики формотворчества, не в русло формирования моды в искусстве, а в русло созидания нового, созвучного объективным законам восприятия, которыми отображены законы гармонии в природе. В этом состоит одна из важнейших профессиональных и социальных задач воспитания и просвещения.
1. Теория чисел Фибоначчи: история и современность
Жизнь и научная карьера Леонардо Пизанского (Фибоначчи – сокращение от filius Bonacci – сын добродушного) теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.
В век Фибоначчи возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) "Священной Римской империи Германской Нации". Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Поэтому к преподаванию в основанном им Неаполитанском университете, наряду с христианскими учеными, он привлек арабов и евреев.
Столь любимые его дедом рыцарские турниры, на которых сражающиеся калечили друг друга на потеху публике, Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.
На таких турнирах и заблистал талант Леонарда Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.
Впоследствии Фибоначчи пользовался неизменным покровительством Фридриха II. Это покровительство стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи: обширнейшей "Книге абака", написанной в 1202 году, но дошедшей до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.; "Практики геометрии"(1220 г.); "Книги квадратов"(1225 г.).
По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику, чуть ли не до времен Декарта (17 в.).
В "Практике геометрии" Фибоначчи применил к решению геометрических задач алгебраические методы. В "Книге квадрата" он решил некоторые задачи на неопределенные квадратные уравнения.
Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Книга абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами. В ней Фибоначчи впервые в Европе привел отрицательные числа, которые рассматривал, как "долг", дал приемы извлечения кубических корней, привел "числа Фибоначчи".
Сообщаемый в "Книге абака" материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них:
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения".
Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й – 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.
Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-месяце через Fk, F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:
Fn=Fn-1+Fn-2
При всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2) – ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).
Числа Fn, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …называются числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.
Суть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.
Данная последовательность асимптотически стремится к некоторому постоянному соотношению (все медленнее и медленнее приближаясь к нему). Однако это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно десятичной дробью.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Но даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Кратко мы будем записывать его в виде 1.618
Специальные названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачоли, средневековый математик, назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Кеплер назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи: Φ=1.618
Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Φ могут стать более понятными, если показать отношения нескольких первых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180
По мере нашего продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий с все большим и большим приближением к недостижимому Φ.
Ниже мы увидим, что отдельные числа из суммационной последовательности Фибоначчи можно увидеть в движениях цен на товары. Колебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаружим в Волновой теории Эллиотта, где они описываются Правилом чередования.
Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.
При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Но это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение – бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца.
При делении каждого числа Фибоначчи на следующее за ним через одно, получаем число 0.382. Заметим еще, что 1:0.382=2.618
Подбирая, таким образом, соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235,2.618,1.618,0.618,0.382,0.236. Упомянем также 0.5. Все они играют особую роль в природе, технике, искусстве и, в частности, в финансовом техническом анализе.
Теория чисел Фибоначчи выросла из знаменитой "задачи о кроликах", имеющей почти восьмисотлетнюю давность; числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики. Задачи, связанные с числами Фибоначчи, приводятся во многих популярных изданиях по математике, рассматриваются на занятиях школьных и студенческих математических кружков, предлагаются на математических олимпиадах.
Числа Фибоначчи проявили себя еще и в нескольких математических проблемах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Дж. Кифером.
Наконец, было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, и к самим числам сегодня существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщилось к благородному хобби "фибоначчизма". Наиболее убедительным свидетельством этому может служить журнал "The Fibonacci Quarterly", издаваемый в США с 1963 г.
Пропорции Фибоначчи благодаря усилиям многих энтузиастов обнаруживаются в самых неожиданных областях знания, через золотое сечение удается связать между собой совершенно разные теории и явления, что свидетельствует о фундаментальной роли теории чисел Фибоначчи в естествознании и в гуманитарных науках.
2. Математические свойства чисел Фибоначчи
Числа Фибоначчи (или последовательность Фибоначчи Fn) обладают целым рядом интересных и важных свойств. К их изучению мы сейчас и приступаем. Итак,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность Фибоначчи Fn определяется рекуррентным соотношением:
F0 =0,
F1 =1,
Fn = Fn-1 + Fn-2,……для № > 1.(1)
Несколько первых значений представлены в таблице 1.
Таблица 1
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
В отличие от многих знаменитых в математике чисел (например, гармонических чисел, чисел Бернулли и т. д.), числа Фибоначчи являют собой подкупающие своей бесхитростностью целые числа. Бесхитростность правила образования этих чисел – возможно, самого бесхитростного из всевозможных рекуррентных соотношений, в котором каждое число зависит от двух предыдущих – служит объяснением того, почему числа Фибоначчи встречаются в самых разнообразных ситуациях.
Простоту и естественность возникновения можно считать первым свойством чисел Фибоначчи. И по мере накопления информации о числах Фибоначчи эта простота становится только таинственней и привлекательней.
Одним из самых первых фактов о числах Фибоначчи, обнаруженным в 1680 г. французским астрономом Жан-Домиником Кассини, является соотношение:
Fn+1 Fn-1 – Fn2 = (-1)n при № > 0.(2)
Так, при № = 6 соотношение Кассини справедливо утверждает, что 13x5 – 82 = 1.(Этот закон был известен Иоганну Кеплеру еще в 1608 г.)
Многочленная формула, которая включает в себя числа Фибоначчи вида Fn±k при малых k, может быть преобразована в формулу, которая включает в себя только Fn и Fn+1, если воспользоваться правилом
Fm = Fm+2 – Fm+1 (3)
для выражения Fm через большие числа Фибоначчи при m < n, и если воспользоваться формулой
Fm = Fm-2 + Fm-1 (4)
для замены Fm меньшими числами Фибоначчи при m > n+1.Так, например, можно заменить Fn-i на Fn+1 – Fn в (2), получая соотношение Кассини вида:
Fn+12 – Fn+1Fn – Fn2 = (-1)n. (5)
Кроме того, если заменить № на № + 1, то соотношение Кассини принимает вид:
Fn+2Fn – Fn+12 = (-1)n+1;
это то же самое, что и (Fn+1 +Fn)Fn – Fn+12 = (– 1)n+1, а последнее совпадает с (5). Таким образом "Кассини(n)" справедливо тогда и только тогда, когда справедливо "Кассини (n + 1)" так что по индукции равенство (2) справедливо при любом n.
Соотношение Кассини лежит в основе геометрического парадокса, который был одной из излюбленных головоломок Льюиса Кэррола. Суть его в том, чтобы взять шахматную доску и разрезать ее на четыре части, как показано ниже на рис. 1, а затем составить из этих частей прямоугольник:

Рис. 1.
Первоначальные 8 х 8 = 64 клетки переставлены так, что получилось 5 х 13 = 65 клеток. Аналогичная конструкция расчленяет любой Fn х Fn-квадрат на четыре части с размерами сторон Fn+1, Fn, Fn-1 и Fn-2 клеток вместо соответственно 13, 8, 5, и 3 клеток в нашем примере. В результате получается Fn-1 х Fn+2-прямоугольник, и в соответствии с (2) одна клетка либо прибавляется, либо утрачивается – в зависимости от того, четно или нечетно n.
Строго говоря, мы не можем применять правило (4) кроме как при та m ≥ 2, ибо нами не определены Fn при отрицательном n. Мы обретем большую свободу действий, если избавимся от этого ограничительного условия и воспользуемся правилами (3) и (4) для доопределения чисел Фибоначчи при отрицательных индексах. Так, F-1 оказывается равным F1 – F0 = 1, a F-2 – равным F0 – F-1 = – 1. Действуя таким образом, выписываем величины:

Это вложение скрыто для гостей. Пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь, чтобы увидеть его.

Это сообщение имеет вложенный файл..
Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь, чтобы увидеть его.

Администратор запретил публиковать записи гостям.
Модераторы: Админчик
Время создания страницы: 0.112 секунд

Понравилось? Поделись с друзьями: